«Трактат об арифметическом треугольнике» (1654)

   «Теория» азартных игр давно интересовала ученых как частный случай исследования возможности упорядочить случайные события. При решении задачи Паскаль легко находил число сочетаний из n элементов по k элементов; производил сложение и умножение вероятностей, оперировал понятием математического ожидания. При этом он использовал свой арифметический треугольник, операции над числами которого помогали ему для решения вероятностных задач.

  «Трактат об арифметическом треугольнике» (1654, издан в 1665 году) создан в период переписки с Ферма и тесно связан с обобщением возникших в ней комбинаторных проблем.  

   Арифметический треугольник представляет собой числовую таблицу: верхняя строчка и первый столбец которой образованы единицами, а каждая клетка следующей строчки заполнена цифрой, получаемой от сложения чисел над данной клеткой и слева от нее. Так же образуются числа нижеследующих строк (этот процесс можно продолжать сколько угодно). Числа третьей строки назывались треугольными, четвертой — пирамидальными и т. д. Числа арифметического треугольника являются числами сочетаний, подсчитываемыми по формуле Cnk = Cn-1k + Cn-1k-1

   В «Трактате об арифметическом треугольнике» он исследует свойства биномиальных коэффициентов при возвышении бинома в любую целую положительную степень (частный случай бинома Ньютона). Паскаль находит их, впервые в истории математики сознательно применяя метод полной математической индукции, — способ рассуждения от n к n+1.